Menelaus和Ceva定理
Menelaus定理
- 三角形ABC，D, E, F分别在直线BC, AC, AB上，则D, E, F共线的充分必要条件是：有符号线段比值（反方向取负比值）满足 $$\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1$$
证明
充分性:$\frac{BD}{DC}=\frac{|BB'|}{|C'C|}$, $\frac{CE}{EA}=\frac{|C'C|}{|AA'|}$, $\frac{AF}{FB}=-\frac{|AA'|}{|BB'|}$.
必要性可通过连接$DF$交$AC$于$E'$,利用已证充分性得$\frac{CE'}{E'A}$，从而证明$E, E'$重合得到
Ceva定理
- 三角形ABC，D, E, F分别在直线BC, AC, AB上，则AD, BE, CF共点的充分必要条件是：有符号线段比值满足 $$\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1$$
证明
充分性：$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{S_{OBD}}{S_{ODC}}=\frac{S_{ABO}}{S_{ACO}}$,
同理$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{CBO}}{S_{ABO}}$, $\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACO}}{S_{CBO}}$.
必要性可由连接$BO$交$AC$于$E'$, 利用已证充分性证明$E, E'$重合得到。
扩展
- 上图中，已知$\frac{BD}{DC}, \frac{CE}{EA}$，求其它所有共线点间线段的比例关系，如$\frac{AF}{FB}, \frac{AO}{OD}$等。
- 引理：上图中，任取一点o, $\overrightarrow{oO}$可表示为$\overrightarrow{oO}=\lambda_1 \overrightarrow{oA}+\lambda_2 \overrightarrow{oB}+\lambda_3 \overrightarrow{oC}$，其中$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$.
-
在上述引理中，取o点为D点，考虑共线关系，可得$\lambda_2 \overrightarrow{DB}+\lambda_3 \overrightarrow{DC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{DO}=\lambda_1 \overrightarrow{DA}$,可得$\frac{AO}{OD}=\frac{1-\lambda_1}{\lambda_1}$
取o为E点，可得$\lambda_1 \overrightarrow{EA}+\lambda_3 \overrightarrow{EC}=\vec{0}$，$\overrightarrow{EO}=\lambda_2 \overrightarrow{EB}$
取o为F点，可得类似关系。由引理知未知参数有2个，若已知2比例关系，可求得其它所有共线比例关系。
在上图几何关系中，Menelaus定理和Ceva定理可用来已知两比例关系，求其它所有比例关系，可由上引理概括证明。
解一
应用Ceva定理和Menelaus定理即可，比如，$B,O,E$共线截三角形$ADC$三边于$B,O,E$，利用Menelaus定理可得$\frac{AO}{OD}$.解二
证明
D在BC上，$\overrightarrow{oD}=u\overrightarrow{oB}+(1-u)\overrightarrow{oC}$O在DA上，$\overrightarrow{oO}=v\overrightarrow{oD}+(1-v)\overrightarrow{oA}$.