Menelaus和Ceva定理
Menelaus定理
- 三角形ABC，D, E, F分别在直线BC, AC, AB上，则D, E, F共线的充分必要条件是：有符号线段比值（反方向取负比值）满足 $$\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1$$
证明
充分性:$\frac{BD}{DC}=\frac{|BB'|}{|C'C|}$, $\frac{CE}{EA}=\frac{|C'C|}{|AA'|}$, $\frac{AF}{FB}=-\frac{|AA'|}{|BB'|}$.
必要性可通过连接$DF$交$AC$于$E'$,利用已证充分性得$\frac{CE'}{E'A}$，从而证明$E, E'$重合得到。
Ceva定理
- 三角形ABC，D, E, F分别在直线BC, AC, AB上，则AD, BE, CF共点的充分必要条件是：有符号线段比值满足 $$\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1$$
证明
充分性：$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{S_{GBD}}{S_{GDC}}=\frac{S_{ABG}}{S_{ACG}}$,
同理$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{CBG}}{S_{ABG}}$, $\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACG}}{S_{CBG}}$.
必要性可由连接$BG$交$AC$于$E'$, 利用已证充分性证明$E, E'$重合得到。
扩展
- 上图中，已知$\frac{BD}{DC}, \frac{CE}{EA}$，求其它所有共线点间线段的比例关系，如$\frac{AF}{FB}, \frac{AG}{GD}$等。
- 引理：上图中，任取一点$O$, $\overrightarrow{OG}$可表示为$\overrightarrow{OG}=\lambda_1 \overrightarrow{OA}+\lambda_2 \overrightarrow{OB}+\lambda_3 \overrightarrow{OC}$，其中$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$.
-
在上述引理中，取$O$点为$D$点，考虑共线关系，可得$\lambda_2 \overrightarrow{DB}+\lambda_3 \overrightarrow{DC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{DG}=\lambda_1 \overrightarrow{DA}$,可得$\frac{AG}{GD}=\frac{1-\lambda_1}{\lambda_1}$
取$O$为$E$点，可得$\lambda_1 \overrightarrow{EA}+\lambda_3 \overrightarrow{EC}=\vec{0}$，$\overrightarrow{EG}=\lambda_2 \overrightarrow{EB}$
取$O$为$F$点，可得类似关系。由引理知未知参数有2个，若已知2比例关系，可求得其它所有共线比例关系。
引理表明，在上图几何关系中，只有两共线比例关系是自由的。Menelaus定理和Ceva定理描写的正是在已知两比例的条件下确定所有其它共线的比例关系，该两定理可由上述引理概括证明。
解一
应用Ceva定理和Menelaus定理即可，比如，$B,G,E$共线截三角形$ADC$三边于$B,G,E$，利用Menelaus定理可得$\frac{AG}{GD}$.解二
证明
由$D$在$BC$上，$\overrightarrow{OD}=u\overrightarrow{OB}+(1-u)\overrightarrow{OC}$由$O$在$DA$上，$\overrightarrow{OG}=v\overrightarrow{OD}+(1-v)\overrightarrow{OA}$.