旋轮线

旋轮线

一个圆在直线上作纯滚动（接触点无滑动），圆上某一点形成的轨迹叫做旋轮线，其参数方程写为 $$ \left\{\begin{array}{cc} x&=&a(\theta-\sin\theta),\\ y&=&a(1-\cos\theta). \end{array} \right. $$ 其中$a$为圆的半径，$\theta$为转动的角度。由参数方程，进行微积分计算，可以得到旋轮线的各种性质，如切线方向，曲线长度，曲线所围面积等。这里采用另外的方法，比较直观地获得曲线的一些性质。旋轮线上点的运动可分解为水平方向的运动和绕圆心的转动，若圆匀速滚动，圆心速度为$v$，点的瞬时速度大小$u=2v\sin\frac{\theta}{2}$,速度方向即旋轮线切线方向与水平方向夹角为$\alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$,弧长即路径长度$s=\int_0^\frac{\theta a}{v}u dt=4a(1-\cos\frac{\theta}{2}).$

等时性

一个质点沿着旋轮线作往复周期运动，则运动周期与起始位置无关。以最低点为基准点，质点偏离最低点位置的弧长为 $$s'=s(\theta)-s({\theta=\pi})=-4a\cos\frac{\theta}{2}.$$质点切线方向的加速度为$$a_{//}=g\sin\alpha=g\cos\frac{\theta}{2}=-\frac{g}{4a}s'$$，因此质点的运动方程为$$\frac{d^2s'}{dt^2}=a_{//}$$,$$\frac{d^2s'}{dt^2}+\frac{g}{4a}s'=0$$,与简谐运动方程相似，其运动周期为$T=\frac{2\pi}{\sqrt{g/4a}}=2\pi\sqrt{\frac{4a}{g}}.$